UTILIZAREA TEORIEI SEMNALELOR ȘI A OPERATORILOR PENTRU ANALIZA ÎN UNDINE (WAVELET)

  CUPRINS:
Introducere 3
Cateva personalitati care au elaborat lucrari remarcabile in domeniul undinelor 8
1. Sigle si notatii 9
2. Localizarea energiei in domeniul timp si in domeniul frecventa 11
3. Reprezentari uni si biparametrice de semnale, ferestre 15
4. Transformarea lui Gabor 24
5. Formula de reconstructie a transformarii in undine. Clasificarea undinelor 31
6. Reconstructia reprezentarii prin undine discrete. Cadre stranse. Cadre obice 43
7. Analiza semnalelor folosind familia de undine Haar 55
8. Analiza multirezolutie 65
9. Constructia lui Mallat 69
10. Proprietatile AMR 75
11. Deplasari, Dilatari, Recurente 87
12. Analiza cu baza Schauder 97
13. Aplicatii ale formelor multiliniare pentru analiza in undine 104
14. Algoritmi de analiza si de sinteza 109
15. Analiza si sinteza cu sistemul Haar 115
16. Algoritmi pentru deducerea iterativa a functiei de scalare si a undinei generatoare 123
17. Rezultate matematice specifice ale analizei multirezolutie 129
18. Undine elementare 145
19. Baze spline - cadrul general 157
20. Baze spline - Detalierea constructiei bazelor ortonormale 164
21. Undine Daub - cadrul general 178
22. Ortogonaltatea familiilor de undine cu suport compact 187
23. Unele experimente numerice

ANEXE 202
Anexa 1 - Transformarea Fourier analogica 202
Anexa 2 - Semnale discrete si transformari 206
Anexa 3 - Elemente de teoria spatiilor Hilbert 210
Anexa 4 - Convolutia si corelatia semnalelor analogice 212
Anexa 5 - Determinarea coeficientilor Fourier folosind Transformarea Fourier Rapida 217
Anexa 6 - Proprietatile diferitelor familii de undine 223
Anexa 7 - Teorema lui Fubini 226

Indice de materii 228

Bibliografie 231
  PREZENTARE:
DESPRE AUTORI

Dumitru STANOMIR
Este doctor inginer electronist. In prezent este profesor emerit la Universitatea Politehnica Bucuresti, Departamentul de Telecomunicatii. Este specialist recunoscut in domeniile: Teoria semnalelor si sistemelor electrice si electronice, ingineria sistemelor si Acustica. Este autorul a peste 200 de lucrari stiintifice dintre care 20 de carti si monografii. Conduce doctorate in domeniul sau de activitate si este recenzent la o serie de publicatii stiintifice din tara si strainatate, intre care Zentralblatt fur Mathematik (Germania) si Mathematical Reviews (USA). Biografia sa este inclusa Who`s Who in the World (USA); Men of Achievement (England); Dictionary of the International Biography (England), American Biographical Institute (USA). Este membru titular al Academiei de Stiinte Tehnice din Romania. A primit premiul Academiei Romane.

Laurentiu TINCU
Este inginer fizician, absolvent al Facultatii de Electronica si Telecomunicatii la Universitatea Politehnica din Bucuresti si este diplomat in Relatii economice internationale la Facultatea de Comert din Academia de Studii Economice. Colaboreaza de peste 40 de ani cu profesorul Dumitru Stanomir. A publicat studii stiintifice articole, recenzii si carti, fiind autor si coautor. Laurentiu TINCU, a lucrat in cercetaredezvoltare si productie in domeniul de semiconductori de putere si celule fotovoltaice. Are o activitate de peste 25 de ani in calitate de cadru didactic asociat in cadrul Universitatii Politehnica Bucuresti, Facultatea de electronica si telecomunicatii. Este prezent in ultimii zece si in mediul universitar din Statele Unite, in calitate de invitat, unde sustine seminarii, conferinte si prezentari si in domeniu: analiza si sinteza de semnalelor analogice si digitale, ingineria siatemelor.
  PREFATA:
INTRODUCERE

Materialul de fata cuprinde elementele necesare privind Bazele teoretice si functionale ale reprezentarii semnalelor prin Undine (Wavelet).

El se inscrie pe o linie careia ii sunt dedicate numeroase studii in literatura stiintifica si tehnica: termenul de analiza Wavelet este un termen nou in limba romana, care s-ar putea traduce prin undisoare, (amintind de termenul din engleza, Wavelet, si de cel din franceza Ondelettes). Vom conveni sa numim aceasta linie Analiza prin semnale de tip undine, sau pe scurt prin undine (conceptul ultimul desemnand un semnal de o forma particulara). Ca si transformarea Fourier, operatia TW a aparut mai intai ca o transformare cu timp continuu depinzand de doua variabile, una controland o dilatare de semnal, parametrul a, iar cealalta indicand decalarea in domeniul temporal, parametru b, sau ca o transformare in cadrul semnalelor analogice depinzand de doi parametri. Pentru obtinerea unei posibile calculabilitati, parametrul asociat dilatarii a fost discretizat ca o putere a lui 2 iar parametrul asociat dilatarilor a fost discretizat pe o multime echivalenta cu cea a intregilor: s-a trecut astfel la operatia TWD. Apoi pentru ratiuni de realizare a unor algoritmi de calcul tari, timpul a fost discretizat, obtinandu-se operatia TWTD, similara ca idee cu operatia transformarea Fourier discreta. Vorbind despre analiza semnalelor, se intelege de obicei analiza Fourier definta de operatia TF. Desi ofera un bogat sens fizic si este intim legata de modul in care opereaza organele noastre de simt, operatia TF are un dezavantaj substantial: elementele constituente ale analizei (caramizile) sunt sinusoide de diferite frecvente care au suport nemarginit. Daca urmarim sa analizam semnale cu suport marginit, sa spunem de durata scurta, atunci este clar ca analiza Fourier nu mai este sugestiva intrucat ea forteaza sumele sinusoide sa se anuleze pe intervalele de anulare a semnalului studiat. O asemenea situatie apare in analiza semnalelor provenind din explorarile geologice. Tocmai pentru incadrarea judicioasa a semnalelor de acest tip a fost imaginata in 1982 o noua transformare de catre J. Morlet si A. Grossman, [GOP], [GRO-84]. Noile semnale de analiza au fost numite in limba franceza Ondelettes, iar in engleza Wavelets. S-a constatat ca punctul de vedere adoptat este similar cu cel al starilor coerente introduse in mecanica cuantica iar cadrul matematic comun este teoria grupurilor si analiza functionala: transformarea introdusa este asociata multimea coeficientilor de patrat integrabil ai reprezentarilor ireductibile ale grupului unimodular at b si anume TW este definita prin coeficientii proiectiei semnalului analizat pe versiunile dilatate si decalate ale functiei Wavelet generatoare. Teoria a fost expusa in lucrarile [GRO-84], [GRO-86a], [GRO-86b], [GRO-89]. Asa cum am mai spus, vom adopta pentru Wavelet termenul in romana de undina, [STN]. Caracterul fundamental al analizei TW decurge din faptul ca, in anumite conditii, familiile de undine pot constitui baze pentru orice semnal analogic de patrat integrabil, adica exista realmente o reprezentare dar si o reconstructie a semnalului dispunand de coeficientii de reprezentare intr-o baza de undine. Aceste fapte fundamentale au fost puse in evidenta de Y. Meyer intr-o serie de monografii remarcabile, [MEY-90a], [MEY-90b]. Y. Meyer a mai pus in evidenta faptul ca formula de inversiune intr-o baza de undine este de fapt o formula de rezolutie a identitatii in clasa functiilor de patrat integrabil, operatori de tip Calderon-Zygmund. Undinele, asa cum sunt definite sub forma generala, au suport nemarginit, ceea ce pentru formule de recuperare de tip numeric prezinta, in mod evident un inconvenient. Mai este util sa precizam ca descrierea prin ponderate de undine cu doi parametri este supradeterminata, astfel ca in aplicatii se realizeaza o dubla discretizare, dupa nivel si dupa parametrul temporal. Calculabilitatea formulei de inversare, de recuperare sau de reconstructie, a fost precizata prin lucrarile lui Ingrid Daubechies, [DAB-88], [DAB-90a], [DAB-90b], in care au fost puse in evidenta: undinele cu suport compact si teoria cadrelor, in engleza frames, pe baza careia sunt asigurate conditii de reconstructie cu o precizie data. Trebuie mentionat ca operatia TW este esential diferita de ceea ce se cunoaste sub numele de transformarea Fourier pe termen scurt, sau tranformarea Fourier cu fereastra lunecatoare. Diferenta consta in faptul ca pentru o largime unitara a dispersiei temporale, dispersia frecventiala este invers proportionala cu factorul de dilatare. O excelenta comparatie intre operatia TF. In diferite variante si operatia TWD este prezentata in lucrarea [STR-93].

Teoria generala a undinelor descrisa pana la acesta etapa nu oferea un mijloc sistematic de generare a familii de undine, pe de o parte, iar pe de alta nu furniza un procedeu de aproximare a unei functii de patrat integrabil prin undine. Aceste doua aspecte au fost dezvoltate in lucrarile fundamentale ale lui S. Mallat, [MAL-89a], [ MAL-89b], in care au fost puse bazele teoriei aproximarii multirezolutie pentru constituirea familiilor de undine. In aceste lucrari a fost axiomatizata generarea unei familii de spatii scufundate succesiv si generand o aproximare a identitatii in clasa functiilor de patrat integrabil. Conceptul esential introdus este functia de scalare. La fiecare nivel, este introdusa o familie ortonormata iar complementele lor ortogonale constituie familia de undine. Ulterior teoriei introdusa de Mallat, s-a constat ca punctul de vedere adoptat este apropiat de cel adoptat in asa numita codarea sub banda, iar algoritmul de analiza si cel de reconstructie sunt similare cu cele folosite in analiza cu ajutorul filtrelor in oglinda si in cuadratura, aa numitele quadrature mirror filters [COH-90a], [COH-90b], [GAL], [VAI], [WET]. Teoria aproximarii prin familii de undine a fost dezvoltata dupa diferite linii, obtinandu-se formule generale de inversiune [HOL]. Este clar ca nu toate formulele de reconstructie au condus la algoritmi; au fost dezvoltate acele formule implementabile cu un volum de calcul relativ redus. A fost pus in evidenta un fapt interesant si important pentru aplicatii: Analiza cu familii de undine se poate face pornind de la constructia lui Mallat sau pornind de la o ecuatie recurenta la doua scari, asa numita ecuatie de scalare pe care o satisface functie de scalare. Coeficientii ecuatiei de scalare se pot considera ca definind un filtru numeric. Astfel ca in limbajul teoriei prelucrarii semnalor numerice, al doilea mod de abordare porneste de la prescrierea filtrului asociat analizei si reconstructiei avand ca punct de pornire o aproximare data. Cercetarile ulterioare au fost axate pe linia obtinerii unor transformari in undine rapide, caracterizate prin discretizarea undinelor continue (au fost demonstrate teoreme de esantionare pentru undine, [WAL]). Dupa cum transformarea Fourier are propria transformare rapida cu timp discret, tot astfel au fost dezvoltati algoritmi rapizi pentru operatia TWTD. O sinteza pe aceasta linie se gaseste in lucrarea [ABR]. Ca urmare a dezvoltarii analizei prin undine au fost puse in evidenta o serie de familii de undine care conduc la rezultate bune sau foarte bune, din punct de vedere al preciziei de analiza si a unui volum de calcul relativ scazut. Astfel au fost puse in evidenta (in sensul unor insusiri pozitive) cateva tipuri de undine dintre care mentionam denumirea semnalului generator: undina Daubechies, undina Morlet si undina Coiffman, in onoarea cercetatorului omonim, [COF].

Cercetarile ulterioare au pus in evidenta noi clase de undine care apar sub forma a doua familii ortogonale, asa numitele undine biortogonale [COH-92a]. Trebuie remarcat ca domeniul in care undinele au condus la rezultate spectaculoase este cel al prelucrarii imaginilor, [COH-92b]. Linia pentru care oferim in lucrare porneste de la faptul ca pentru semnalele unidimensionale, vorba si muzica, analiza realizata prin operatiile TWD, TWTD are un dezavantaj: este dificil sa fie puse in evidenta modificarile proprietatile semnalului atunci cand se trece de la un nivel al altul, deoarece explorarea are caracter diadic (puteri ale lui 2).

O serie de experimente au pus in evidenta acest dezavantaj: [DEL-91], [DEL-92]. Pentru remedierea acestui neajuns au fost imaginate transformari modificate derivand din analiza prin undine. Una din aceste linii este cea initiata de S. Maes, [MAE-94], [MAE-97], denumita de autor TWQC (transformarea Wavelet quasicontinua), si care se caracterizeaza printr-o discretizare de tip logaritmic pe scala de nivele si prin absenta oricarei subesantionari pe scara timpului. Ideea de analiza si de reconstructie se bazeaza pe metodele tipice prelucarii in codarea subbanda si celor tipice transformarilor rapide.

In ultimii ani au aparut o serie de generalizari ale undinelor pe diferite linii, dintre care citam: a doua generatie de undine, [SWL] si undinele multiscala, [PLO].

Printre lucrarile care ofera sinteze excelente pentru analiza multirezolutie semnalam, [JAV], [STD-00].

Semnalam cititorului lucrarea fundamentala aparuta in limba romana [STE].
  CUVINTE CHEIE: